Да разгледаме окръжността \( k(O; r) \) с вписан правилен петоъгълник \( ABCDE \). Нека разгледаме следните точки и линии: 1. \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), \( E \) са върховете на правилния петоъгълник. 2. \( O \) е центърът на окръжността. 3. \( P \) е точката на пресичане на диагоналите \( AD \) и \( CE \). 4. \( Q \) е точката на пресичане на диагоналите \( AE \) и \( CD \). ### Намерете ъглите \( \angle AOB \) и \( \angle COE \): #### Стъпка 1: Разбиране на ъглите в правилен петоъгълник В правилен петоъгълник всички страни и всички вътрешни ъгли са равни. Вътрешният ъгъл на правилен петоъгълник може да бъде изчислен по формулата: \[ \text{Вътрешен ъгъл} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \] където \( n \) е броят на страните. За петоъгълник \( n = 5 \): \[ \text{Вътрешен ъгъл} = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ \] #### Стъпка 2: Централни ъгли в правилен петоъгълник Централният ъгъл, който се образува между два съседни върха на правилен петоъгълник, може да бъде изчислен по формулата: \[ \text{Централен ъгъл} = \frac{360^\circ}{n} \] където \( n \) е броят на страните. За петоъгълник \( n = 5 \): \[ \text{Централен ъгъл} = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ \] #### Стъпка 3: Изчисляване на ъглите \( \angle AOB \) и \( \angle COE \) Тъй като \( A \) и \( B \) са съседни върхове на правилния петоъгълник, централният ъгъл \( \angle AOB \) е: \[ \angle AOB = 72^\circ \] Тъй като \( C \) и \( E \) са върхове, които са отделени от един връх (в случая \( D \)), централният ъгъл \( \angle COE \) е два пъти по-голям от централния ъгъл между съседни върхове: \[ \angle COE = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ \] ### Заключение а) Ъглите са: - \( \angle AOB = 72^\circ \) - \( \angle COE = 144^\circ \) Това са централните ъгли, образувани от съответните върхове на правилния петоъгълник в окръжността.