За да намерим големината на ъгъл AM1H1 в триъгълника ABC, трябва да следваме няколко стъпки, включително използването на геометрични свойства и тригонометрични съотношения. 1. **Определяне на ъглите на триъгълника ABC:** Нека ъглите на триъгълника ABC са α, β и γ, като α + β + γ = 180°. Дадено е, че съотношението на ъглите е 3:7:8. Нека α = 3x, β = 7x и γ = 8x. Тогава: \[ 3x + 7x + 8x = 180° \] \[ 18x = 180° \] \[ x = 10° \] Следователно: \[ α = 3x = 30° \] \[ β = 7x = 70° \] \[ γ = 8x = 80° \] 2. **Позициониране на височината CH и медианата CM:** Височината CH е перпендикулярна на страната AB и медианата CM също пресича AB в точката M, която е среда на AB. 3. **Определяне на точките H1 и M1:** Точката H1 е взета върху височината CH така, че H е среда на CM1. Това означава, че CM1 е два пъти по-дълга от CH. 4. **Използване на геометрични свойства:** Тъй като H е среда на CM1, можем да разгледаме триъгълника CHM1 като равнобедрен триъгълник, където CH = HM1. 5. **Намиране на ъгъл AM1H1:** За да намерим ъгъл AM1H1, трябва да използваме факта, че точката M е среда на AB и точката H е на височината CH. Това означава, че триъгълникът AMH е подобен на триъгълника CMH1. Поради симетрията и свойствата на медианата и височината, можем да заключим, че ъгъл AM1H1 е равен на ъгъл AHC. Височината CH разделя триъгълника ABC на два правоъгълни триъгълника, като ъгъл AHC е 90°. Следователно, големината на ъгъл AM1H1 е: \[ \boxed{90°} \]